Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.224

Exercício 05.224

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {w, x, y, z} que produza a linguagem L = {w | w possui wwzx ou zwzw ou zxyw como prefixo, wzyzy ou zwxxw ou zxxwz como subpalavra e wzw ou xww ou zyx como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* (wzyzy + zwxxw + zxxwz) (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo wwzx com a subpalavra zxxwz resulta na palavra wwzxxwz:

ER = (wwzxxwz (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx))

2. A sobreposição do prefixo zwzw com a subpalavra wzyzy resulta na palavra zwzwzyzy:

ER = (zwzwzyzy (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx))

3. A sobreposição do prefixo zwzw com a subpalavra zwxxw resulta na palavra zwzwxxw:

ER = (zwzwxxw (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx))

4. A sobreposição do prefixo zxyw com a subpalavra wzyzy resulta na palavra zxywzyzy:

ER = (zxywzyzy (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra wzyzy com o sufixo zyx resulta na palavra wzyzyx:

ER = ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* wzyzyx)

2. A sobreposição da subpalavra zwxxw com o sufixo wzw resulta na palavra zwxxwzw:

ER = ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* zwxxwzw)

3. A sobreposição da subpalavra zwxxw com o sufixo xww resulta na palavra zwxxww:

ER = ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* zwxxww)

4. A sobreposição da subpalavra zxxwz com o sufixo wzw resulta na palavra zxxwzw:

ER = ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* zxxwzw)

5. A sobreposição da subpalavra zxxwz com o sufixo zyx resulta na palavra zxxwzyx:

ER = ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* zxxwzyx)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra wwzxxwz com a sobreposição da subpalavra/sufixo zxxwzw resulta na palavra wwzxxwzw:

ER = (wwzxxwzw)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra wwzxxwz com a sobreposição da subpalavra/sufixo zxxwzyx resulta na palavra wwzxxwzyx:

ER = (wwzxxwzyx)

3. A sobreposição do prefixo/subpalavra zwzwxxw com a sobreposição da subpalavra/sufixo zwxxww resulta na palavra zwzwxxww:

ER = (zwzwxxww)

4. A sobreposição do prefixo/subpalavra zwzwxxw com a sobreposição da subpalavra/sufixo zwxxwzw resulta na palavra zwzwxxwzw:

ER = (zwzwxxwzw)

5. A sobreposição do prefixo/subpalavra zwzwzyzy com a sobreposição da subpalavra/sufixo wzyzyx resulta na palavra zwzwzyzyx:

ER = (zwzwzyzyx)

6. A sobreposição do prefixo/subpalavra zxywzyzy com a sobreposição da subpalavra/sufixo wzyzyx resulta na palavra zxywzyzyx:

ER = (zxywzyzyx)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* (wzyzy + zwxxw + zxxwz) (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx)) +
      (wwzxxwz (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx)) +
      (zwzwxxw (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx)) +
      (zwzwzyzy (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx)) +
      (zxywzyzy (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx)) +
      ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* wzyzyx) +
      ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* zwxxww) +
      ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* zwxxwzw) +
      ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* zxxwzw) +
      ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* zxxwzyx) +
      (wwzxxwzw) +
      (wwzxxwzyx) +
      (zwzwxxww) +
      (zwzwxxwzw) +
      (zwzwzyzyx) +
      (zxywzyzyx))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* (wzyzy + zwxxw + zxxwz) (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx)) +
      ((wwzxxwz + zwzwxxw + zwzwzyzy + zxywzyzy) (w + x + y + z)* (wzw + xww + zyx)) +
      ((wwzx + zwzw + zxyw) (w + x + y + z)* (wzyzyx + zwxxww + zwxxwzw + zxxwzw + zxxwzyx)) +
      (wwzxxwzw + wwzxxwzyx + zwzwxxww + zwzwxxwzw + zwzwzyzyx + zxywzyzyx))