Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

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Exercício 05.183

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {w, x, y, z} que produza a linguagem L = {w | w possui wzw ou xyw como prefixo, wzx ou ywx como subpalavra e xwz ou xyy como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((wzw + xyw) (w + x + y + z)* (wzx + ywx) (w + x + y + z)* (xwz + xyy))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo wzw com a subpalavra wzx resulta na palavra wzwzx:

ER = (wzwzx (w + x + y + z)* (xwz + xyy))

2. A sobreposição do prefixo xyw com a subpalavra wzx resulta na palavra xywzx:

ER = (xywzx (w + x + y + z)* (xwz + xyy))

3. A sobreposição do prefixo xyw com a subpalavra ywx resulta na palavra xywx:

ER = (xywx (w + x + y + z)* (xwz + xyy))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra wzx com o sufixo xwz resulta na palavra wzxwz:

ER = ((wzw + xyw) (w + x + y + z)* wzxwz)

2. A sobreposição da subpalavra wzx com o sufixo xyy resulta na palavra wzxyy:

ER = ((wzw + xyw) (w + x + y + z)* wzxyy)

3. A sobreposição da subpalavra ywx com o sufixo xwz resulta na palavra ywxwz:

ER = ((wzw + xyw) (w + x + y + z)* ywxwz)

4. A sobreposição da subpalavra ywx com o sufixo xyy resulta na palavra ywxyy:

ER = ((wzw + xyw) (w + x + y + z)* ywxyy)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra wzwzx com a sobreposição da subpalavra/sufixo wzxwz resulta na palavra wzwzxwz:

ER = (wzwzxwz)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra wzwzx com a sobreposição da subpalavra/sufixo wzxyy resulta na palavra wzwzxyy:

ER = (wzwzxyy)

3. A sobreposição do prefixo/subpalavra xywx com a sobreposição da subpalavra/sufixo ywxwz resulta na palavra xywxwz:

ER = (xywxwz)

4. A sobreposição do prefixo/subpalavra xywx com a sobreposição da subpalavra/sufixo ywxyy resulta na palavra xywxyy:

ER = (xywxyy)

5. A sobreposição do prefixo/subpalavra xywzx com a sobreposição da subpalavra/sufixo wzxwz resulta na palavra xywzxwz:

ER = (xywzxwz)

6. A sobreposição do prefixo/subpalavra xywzx com a sobreposição da subpalavra/sufixo wzxyy resulta na palavra xywzxyy:

ER = (xywzxyy)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((wzw + xyw) (w + x + y + z)* (wzx + ywx) (w + x + y + z)* (xwz + xyy)) +
      (wzwzx (w + x + y + z)* (xwz + xyy)) +
      (xywx (w + x + y + z)* (xwz + xyy)) +
      (xywzx (w + x + y + z)* (xwz + xyy)) +
      ((wzw + xyw) (w + x + y + z)* wzxwz) +
      ((wzw + xyw) (w + x + y + z)* wzxyy) +
      ((wzw + xyw) (w + x + y + z)* ywxwz) +
      ((wzw + xyw) (w + x + y + z)* ywxyy) +
      (wzwzxwz) +
      (wzwzxyy) +
      (xywxwz) +
      (xywxyy) +
      (xywzxwz) +
      (xywzxyy))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((wzw + xyw) (w + x + y + z)* (wzx + ywx) (w + x + y + z)* (xwz + xyy)) +
      ((wzwzx + xywx + xywzx) (w + x + y + z)* (xwz + xyy)) +
      ((wzw + xyw) (w + x + y + z)* (wzxwz + wzxyy + ywxwz + ywxyy)) +
      (wzwzxwz + wzwzxyy + xywxwz + xywxyy + xywzxwz + xywzxyy))