Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.133

Exercício 05.133

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {1, 2, 3} que produza a linguagem L = {w | w possui 132 ou 223 como prefixo, 232 ou 312 como subpalavra e 121 ou 321 como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((132 + 223) (1 + 2 + 3)* (232 + 312) (1 + 2 + 3)* (121 + 321))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo 132 com a subpalavra 232 resulta na palavra 13232:

ER = (13232 (1 + 2 + 3)* (121 + 321))

2. A sobreposição do prefixo 223 com a subpalavra 232 resulta na palavra 2232:

ER = (2232 (1 + 2 + 3)* (121 + 321))

3. A sobreposição do prefixo 223 com a subpalavra 312 resulta na palavra 22312:

ER = (22312 (1 + 2 + 3)* (121 + 321))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra 232 com o sufixo 321 resulta na palavra 2321:

ER = ((132 + 223) (1 + 2 + 3)* 2321)

2. A sobreposição da subpalavra 312 com o sufixo 121 resulta na palavra 3121:

ER = ((132 + 223) (1 + 2 + 3)* 3121)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra 13232 com a sobreposição da subpalavra/sufixo 2321 resulta na palavra 132321:

ER = (132321)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra 22312 com a sobreposição da subpalavra/sufixo 3121 resulta na palavra 223121:

ER = (223121)

3. A sobreposição do prefixo/subpalavra 2232 com a sobreposição da subpalavra/sufixo 2321 resulta na palavra 22321:

ER = (22321)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((132 + 223) (1 + 2 + 3)* (232 + 312) (1 + 2 + 3)* (121 + 321)) +
      (13232 (1 + 2 + 3)* (121 + 321)) +
      (22312 (1 + 2 + 3)* (121 + 321)) +
      (2232 (1 + 2 + 3)* (121 + 321)) +
      ((132 + 223) (1 + 2 + 3)* 2321) +
      ((132 + 223) (1 + 2 + 3)* 3121) +
      (132321) +
      (223121) +
      (22321))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((132 + 223) (1 + 2 + 3)* (232 + 312) (1 + 2 + 3)* (121 + 321)) +
      ((13232 + 22312 + 2232) (1 + 2 + 3)* (121 + 321)) +
      ((132 + 223) (1 + 2 + 3)* (2321 + 3121)) +
      (132321 + 223121 + 22321))