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Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {1, 2, 3} que produza a linguagem L = {w | w possui 312 como prefixo, 211 como subpalavra e 121 como sufixo}.

 

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
(sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))
ER = (312 (1 + 2 + 3)* 211 (1 + 2 + 3)* 121)

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo 312 com a subpalavra 211 resulta na palavra 31211:

ER = (31211 (1 + 2 + 3)* 121)

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra 211 com o sufixo 121 resulta na palavra 21121:

ER = (312 (1 + 2 + 3)* 21121)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra 31211 com a sobreposição da subpalavra/sufixo 21121 resulta na palavra 3121121:

ER = (3121121)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = ((312 (1 + 2 + 3)* 211 (1 + 2 + 3)* 121) +
(31211 (1 + 2 + 3)* 121) +
(312 (1 + 2 + 3)* 21121) +
(3121121))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando os quatro casos numa única expressão, como segue:

ER = (312 (ε + ((1 + 2 + 3)* 2)) (ε + (1 (1 + 2 + 3)*)) 121)