Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
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Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.235

Exercício 05.235

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {a, b, c, d} que produza a linguagem L = {w | w possui abcd ou baba ou dcba como prefixo, abcbc ou badcd ou ccdab como subpalavra e bcca ou cdac ou dabc como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* (abcbc + badcd + ccdab) (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo baba com a subpalavra abcbc resulta na palavra bababcbc:

ER = (bababcbc (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc))

2. A sobreposição do prefixo baba com a subpalavra badcd resulta na palavra babadcd:

ER = (babadcd (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc))

3. A sobreposição do prefixo dcba com a subpalavra abcbc resulta na palavra dcbabcbc:

ER = (dcbabcbc (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc))

4. A sobreposição do prefixo dcba com a subpalavra badcd resulta na palavra dcbadcd:

ER = (dcbadcd (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra abcbc com o sufixo bcca resulta na palavra abcbcca:

ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* abcbcca)

2. A sobreposição da subpalavra abcbc com o sufixo cdac resulta na palavra abcbcdac:

ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* abcbcdac)

3. A sobreposição da subpalavra badcd com o sufixo cdac resulta na palavra badcdac:

ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* badcdac)

4. A sobreposição da subpalavra badcd com o sufixo dabc resulta na palavra badcdabc:

ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* badcdabc)

5. A sobreposição da subpalavra ccdab com o sufixo bcca resulta na palavra ccdabcca:

ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* ccdabcca)

6. A sobreposição da subpalavra ccdab com o sufixo dabc resulta na palavra ccdabc:

ER = ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* ccdabc)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra bababcbc com a sobreposição da subpalavra/sufixo abcbcca resulta na palavra bababcbcca:

ER = (bababcbcca)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra bababcbc com a sobreposição da subpalavra/sufixo abcbcdac resulta na palavra bababcbcdac:

ER = (bababcbcdac)

3. A sobreposição do prefixo/subpalavra babadcd com a sobreposição da subpalavra/sufixo badcdabc resulta na palavra babadcdabc:

ER = (babadcdabc)

4. A sobreposição do prefixo/subpalavra babadcd com a sobreposição da subpalavra/sufixo badcdac resulta na palavra babadcdac:

ER = (babadcdac)

5. A sobreposição do prefixo/subpalavra dcbabcbc com a sobreposição da subpalavra/sufixo abcbcca resulta na palavra dcbabcbcca:

ER = (dcbabcbcca)

6. A sobreposição do prefixo/subpalavra dcbabcbc com a sobreposição da subpalavra/sufixo abcbcdac resulta na palavra dcbabcbcdac:

ER = (dcbabcbcdac)

7. A sobreposição do prefixo/subpalavra dcbadcd com a sobreposição da subpalavra/sufixo badcdabc resulta na palavra dcbadcdabc:

ER = (dcbadcdabc)

8. A sobreposição do prefixo/subpalavra dcbadcd com a sobreposição da subpalavra/sufixo badcdac resulta na palavra dcbadcdac:

ER = (dcbadcdac)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* (abcbc + badcd + ccdab) (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
      (bababcbc (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
      (babadcd (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
      (dcbabcbc (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
      (dcbadcd (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
      ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* abcbcca) +
      ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* abcbcdac) +
      ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* badcdabc) +
      ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* badcdac) +
      ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* ccdabc) +
      ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* ccdabcca) +
      (bababcbcca) +
      (bababcbcdac) +
      (babadcdabc) +
      (babadcdac) +
      (dcbabcbcca) +
      (dcbabcbcdac) +
      (dcbadcdabc) +
      (dcbadcdac))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* (abcbc + badcd + ccdab) (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
      ((bababcbc + babadcd + dcbabcbc + dcbadcd) (a + b + c + d)* (bcca + cdac + dabc)) +
      ((abcd + baba + dcba) (a + b + c + d)* (abcbcca + abcbcdac + badcdabc + badcdac + ccdabc + ccdabcca)) +
      (bababcbcca + bababcbcdac + babadcdabc + babadcdac + dcbabcbcca + dcbabcbcdac + dcbadcdabc + dcbadcdac))