Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.214

Exercício 05.214

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {w, x, y, z} que produza a linguagem L = {w | w possui wyzy ou xzxy ou zyyw como prefixo, wxxy ou xyx ou ywzy como subpalavra e xwzw ou yxx ou zw como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* (wxxy + xyx + ywzy) (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo wyzy com a subpalavra ywzy resulta na palavra wyzywzy:

ER = (wyzywzy (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw))

2. A sobreposição do prefixo xzxy com a subpalavra xyx resulta na palavra xzxyx:

ER = (xzxyx (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw))

3. A sobreposição do prefixo xzxy com a subpalavra ywzy resulta na palavra xzxywzy:

ER = (xzxywzy (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw))

4. A sobreposição do prefixo zyyw com a subpalavra wxxy resulta na palavra zyywxxy:

ER = (zyywxxy (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw))

5. A sobreposição do prefixo zyyw com a subpalavra ywzy resulta na palavra zyywzy:

ER = (zyywzy (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra wxxy com o sufixo yxx resulta na palavra wxxyxx:

ER = ((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* wxxyxx)

2. A sobreposição da subpalavra xyx com o sufixo xwzw resulta na palavra xyxwzw:

ER = ((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* xyxwzw)

3. A sobreposição da subpalavra xyx com o sufixo yxx resulta na palavra xyxx:

ER = ((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* xyxx)

4. A sobreposição da subpalavra ywzy com o sufixo yxx resulta na palavra ywzyxx:

ER = ((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* ywzyxx)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra wyzywzy com a sobreposição da subpalavra/sufixo ywzyxx resulta na palavra wyzywzyxx:

ER = (wyzywzyxx)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra xzxywzy com a sobreposição da subpalavra/sufixo ywzyxx resulta na palavra xzxywzyxx:

ER = (xzxywzyxx)

3. A sobreposição do prefixo/subpalavra xzxyx com a sobreposição da subpalavra/sufixo xyxwzw resulta na palavra xzxyxwzw:

ER = (xzxyxwzw)

4. A sobreposição do prefixo/subpalavra xzxyx com a sobreposição da subpalavra/sufixo xyxx resulta na palavra xzxyxx:

ER = (xzxyxx)

5. A sobreposição do prefixo/subpalavra zyywxxy com a sobreposição da subpalavra/sufixo wxxyxx resulta na palavra zyywxxyxx:

ER = (zyywxxyxx)

6. A sobreposição do prefixo/subpalavra zyywzy com a sobreposição da subpalavra/sufixo ywzyxx resulta na palavra zyywzyxx:

ER = (zyywzyxx)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* (wxxy + xyx + ywzy) (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw)) +
      (wyzywzy (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw)) +
      (xzxywzy (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw)) +
      (xzxyx (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw)) +
      (zyywxxy (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw)) +
      (zyywzy (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw)) +
      ((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* wxxyxx) +
      ((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* xyxwzw) +
      ((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* xyxx) +
      ((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* ywzyxx) +
      (wyzywzyxx) +
      (xzxywzyxx) +
      (xzxyxwzw) +
      (xzxyxx) +
      (zyywxxyxx) +
      (zyywzyxx))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* (wxxy + xyx + ywzy) (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw)) +
      ((wyzywzy + xzxywzy + xzxyx + zyywxxy + zyywzy) (w + x + y + z)* (xwzw + yxx + zw)) +
      ((wyzy + xzxy + zyyw) (w + x + y + z)* (wxxyxx + xyxwzw + xyxx + ywzyxx)) +
      (wyzywzyxx + xzxywzyxx + xzxyxwzw + xzxyxx + zyywxxyxx + zyywzyxx))