Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.207

Exercício 05.207

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {w, x, y, z} que produza a linguagem L = {w | w possui wzw ou ywz ou yzx como prefixo, xzx ou zww ou zxwx como subpalavra e wxz ou xyz ou zxy como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* (xzx + zww + zxwx) (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo wzw com a subpalavra zww resulta na palavra wzww:

ER = (wzww (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy))

2. A sobreposição do prefixo ywz com a subpalavra zww resulta na palavra ywzww:

ER = (ywzww (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy))

3. A sobreposição do prefixo ywz com a subpalavra zxwx resulta na palavra ywzxwx:

ER = (ywzxwx (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy))

4. A sobreposição do prefixo yzx com a subpalavra xzx resulta na palavra yzxzx:

ER = (yzxzx (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy))

5. A sobreposição do prefixo yzx com a subpalavra zxwx resulta na palavra yzxwx:

ER = (yzxwx (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra xzx com o sufixo xyz resulta na palavra xzxyz:

ER = ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* xzxyz)

2. A sobreposição da subpalavra xzx com o sufixo zxy resulta na palavra xzxy:

ER = ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* xzxy)

3. A sobreposição da subpalavra zww com o sufixo wxz resulta na palavra zwwxz:

ER = ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* zwwxz)

4. A sobreposição da subpalavra zxwx com o sufixo wxz resulta na palavra zxwxz:

ER = ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* zxwxz)

5. A sobreposição da subpalavra zxwx com o sufixo xyz resulta na palavra zxwxyz:

ER = ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* zxwxyz)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra wzww com a sobreposição da subpalavra/sufixo zwwxz resulta na palavra wzwwxz:

ER = (wzwwxz)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra ywzww com a sobreposição da subpalavra/sufixo zwwxz resulta na palavra ywzwwxz:

ER = (ywzwwxz)

3. A sobreposição do prefixo/subpalavra ywzxwx com a sobreposição da subpalavra/sufixo zxwxyz resulta na palavra ywzxwxyz:

ER = (ywzxwxyz)

4. A sobreposição do prefixo/subpalavra ywzxwx com a sobreposição da subpalavra/sufixo zxwxz resulta na palavra ywzxwxz:

ER = (ywzxwxz)

5. A sobreposição do prefixo/subpalavra yzxwx com a sobreposição da subpalavra/sufixo zxwxyz resulta na palavra yzxwxyz:

ER = (yzxwxyz)

6. A sobreposição do prefixo/subpalavra yzxwx com a sobreposição da subpalavra/sufixo zxwxz resulta na palavra yzxwxz:

ER = (yzxwxz)

7. A sobreposição do prefixo/subpalavra yzxzx com a sobreposição da subpalavra/sufixo xzxy resulta na palavra yzxzxy:

ER = (yzxzxy)

8. A sobreposição do prefixo/subpalavra yzxzx com a sobreposição da subpalavra/sufixo xzxyz resulta na palavra yzxzxyz:

ER = (yzxzxyz)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* (xzx + zww + zxwx) (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy)) +
      (wzww (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy)) +
      (ywzww (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy)) +
      (ywzxwx (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy)) +
      (yzxwx (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy)) +
      (yzxzx (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy)) +
      ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* xzxy) +
      ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* xzxyz) +
      ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* zwwxz) +
      ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* zxwxyz) +
      ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* zxwxz) +
      (wzwwxz) +
      (ywzwwxz) +
      (ywzxwxyz) +
      (ywzxwxz) +
      (yzxwxyz) +
      (yzxwxz) +
      (yzxzxy) +
      (yzxzxyz))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* (xzx + zww + zxwx) (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy)) +
      ((wzww + ywzww + ywzxwx + yzxwx + yzxzx) (w + x + y + z)* (wxz + xyz + zxy)) +
      ((wzw + ywz + yzx) (w + x + y + z)* (xzxy + xzxyz + zwwxz + zxwxyz + zxwxz)) +
      (wzwwxz + ywzwwxz + ywzxwxyz + ywzxwxz + yzxwxyz + yzxwxz + yzxzxy + yzxzxyz))