Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
Tutoriais
Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.128

Exercício 05.128

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {x, y, z} que produza a linguagem L = {w | w possui xyz ou zyx como prefixo, zxy ou zyz como subpalavra e yxy ou yyz como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((xyz + zyx) (x + y + z)* (zxy + zyz) (x + y + z)* (yxy + yyz))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo xyz com a subpalavra zxy resulta na palavra xyzxy:

ER = (xyzxy (x + y + z)* (yxy + yyz))

2. A sobreposição do prefixo xyz com a subpalavra zyz resulta na palavra xyzyz:

ER = (xyzyz (x + y + z)* (yxy + yyz))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

1. A sobreposição da subpalavra zxy com o sufixo yxy resulta na palavra zxyxy:

ER = ((xyz + zyx) (x + y + z)* zxyxy)

2. A sobreposição da subpalavra zxy com o sufixo yyz resulta na palavra zxyyz:

ER = ((xyz + zyx) (x + y + z)* zxyyz)

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

1. A sobreposição do prefixo/subpalavra xyzxy com a sobreposição da subpalavra/sufixo zxyxy resulta na palavra xyzxyxy:

ER = (xyzxyxy)

2. A sobreposição do prefixo/subpalavra xyzxy com a sobreposição da subpalavra/sufixo zxyyz resulta na palavra xyzxyyz:

ER = (xyzxyyz)

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((xyz + zyx) (x + y + z)* (zxy + zyz) (x + y + z)* (yxy + yyz)) +
      (xyzxy (x + y + z)* (yxy + yyz)) +
      (xyzyz (x + y + z)* (yxy + yyz)) +
      ((xyz + zyx) (x + y + z)* zxyxy) +
      ((xyz + zyx) (x + y + z)* zxyyz) +
      (xyzxyxy) +
      (xyzxyyz))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((xyz + zyx) (x + y + z)* (zxy + zyz) (x + y + z)* (yxy + yyz)) +
      ((xyzxy + xyzyz) (x + y + z)* (yxy + yyz)) +
      ((xyz + zyx) (x + y + z)* (zxyxy + zxyyz)) +
      (xyzxyxy + xyzxyyz))