Tutoriais - Linguagens Formais e Autômatos
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Linguagens Formais e Autômatos

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5. Exercício 05.122

Exercício 05.122

Desenvolva uma expressão regular sobre o alfabeto Σ = {x, y, z} que produza a linguagem L = {w | w possui xyz ou zyx como prefixo, xyy ou xzz como subpalavra e xyx ou xzx como sufixo}.

Solução do Exercício

Para a classe de problemas abordado no enunciado do exercício, a elaboração da expressão regular que produza a linguagem L, segue o esquema composto por quatro casos, como segue:

ER = (((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos)) +
      ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos)) +
      (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos))

O primeiro caso considera que não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras e nem entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

ER = ((xyz + zyx) (x + y + z)* (xyy + xzz) (x + y + z)* (xyx + xzx))

O segundo caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos e as subpalavras da linguagem L, como segue:

ER = ((sobreposições prefixos/subpalavras)(alfabeto)(sufixos))

1. A sobreposição do prefixo zyx com a subpalavra xyy resulta na palavra zyxyy:

ER = (zyxyy (x + y + z)* (xyx + xzx))

2. A sobreposição do prefixo zyx com a subpalavra xzz resulta na palavra zyxzz:

ER = (zyxzz (x + y + z)* (xyx + xzx))

O terceiro caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = ((prefixos)(alfabeto)(sobreposições subpalavras/sufixos))

No problema em questão, não existem sobreposições entre os elementos que definem as subpalavras e os sufixos da linguagem L, de modo que o presente caso não se aplica.

O quarto e último caso considera a existência de sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, como segue:

ER = (sobreposições prefixos/subpalavras/sufixos)

No problema em questão, não existem sobreposições entre os elementos que definem os prefixos, as subpalavras e os sufixos da linguagem L, de modo que o presente caso não se aplica.

Desta forma, a expressão regular que produza a linguagem L é:

ER = (((xyz + zyx) (x + y + z)* (xyy + xzz) (x + y + z)* (xyx + xzx)) +
      (zyxyy (x + y + z)* (xyx + xzx)) +
      (zyxzz (x + y + z)* (xyx + xzx)))

É possível apresentar uma expressão regular mais concisa que produza a linguagem L, agrupando as ocorrências dos casos idênticos numa única expressão, como segue:

ER = (((xyz + zyx) (x + y + z)* (xyy + xzz) (x + y + z)* (xyx + xzx)) +
      ((zyxyy + zyxzz) (x + y + z)* (xyx + xzx)))